Step-by-step explanation:
Pour démontrer ces résultats, nous utiliserons les propriétés des barycentres et des droites concourantes.
**1) Montrer que si (AG) coupe (BC) alors ß+y = 0:**
Soit \(A'\) le point d'intersection de \(AG\) et \(BC\). Par la propriété des barycentres, on a:
\[ \overrightarrow{A'G} = \frac{\beta}{\beta + \gamma} \cdot \overrightarrow{AB} + \frac{\gamma}{\beta + \gamma} \cdot \overrightarrow{AC} \]
Cependant, \(A'\) appartient à \(BC\), donc on peut écrire:
\[ \overrightarrow{A'G} = \frac{\beta}{\beta + \gamma} \cdot \overrightarrow{A'B} + \frac{\gamma}{\beta + \gamma} \cdot \overrightarrow{A'C} \]
En égalant les deux expressions pour \(\overrightarrow{A'G}\), on obtient:
\[ \frac{\beta}{\beta + \gamma} \cdot \overrightarrow{AB} + \frac{\gamma}{\beta + \gamma} \cdot \overrightarrow{AC} = \frac{\beta}{\beta + \gamma} \cdot \overrightarrow{A'B} + \frac{\gamma}{\beta + \gamma} \cdot \overrightarrow{A'C} \]
En simplifiant, on arrive à:
\[ \beta \cdot \overrightarrow{AB} + \gamma \cdot \overrightarrow{AC} = \beta \cdot \overrightarrow{A'B} + \gamma \cdot \overrightarrow{A'C} \]
Maintenant, utilisez la colinéarité des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) pour montrer que \(\beta + \gamma = 0\), ce qui implique \(\beta + y = 0\).
**2) Montrer que I appartient à la droite (AG):**
Soit \(I\) le barycentre de \((B, \beta)\) et \((C, \gamma)\). Par la propriété des barycentres, on a:
\[ \overrightarrow{IG} = \frac{\beta}{\beta + \gamma} \cdot \overrightarrow{IB} + \frac{\gamma}{\beta + \gamma} \cdot \overrightarrow{IC} \]
En utilisant les propriétés des barycentres, montrez que \(\overrightarrow{IG}\) est colinéaire à \(\overrightarrow{IA}\), ce qui signifie que \(I\) appartient à la droite \(AG\).
